Suzuki Ignis 2003: Auto slaat af bij proefrit... door slechte accu?

Ik heb vandaag een proefrit gemaakt in de eventueel toekomstige auto van mijn vriendin, een Suzuki Ignis uit 2003.

Bij het starten kwamen we er achter dat de accu leeg was. De dealer heeft hem toen met een starthulp aan de gang gekregen.
We hebben de auto 10 minuten stationair laten draaien om de accu een beetje te laden.
Daarna aan de proefrit begonnen. De eerste paar straten gingen prima. Mijn vriendin achter het stuur en ik achter de knoppen (ventilatie, airco, ramen enz.)
Plotseling had mijn vriendin het gevoel dat hij wel zwaar stuurde, alsof de stuurbekrachtiging het niet goed deed. Zelf kreeg ik het gevoel dat de ventilator van het verwarmingssysteem opeens niet meer volop draaide.
We zijn gestopt om van plaats te verwisselen (ik dus achter het stuur) terwijl de motor stationair doorliep.
Toen ik wilde optrekken was er geen power meer en toen sloeg de motor af.
Starten ging niet meer, de accu was weer helemaal leeg.
Aanduwen wilde ook niet echt helpen, even starten en toen weer uit.
Dealer gebeld, die is naar ons toe gekomen met een starthulp. Met dat apparaat sloeg de motor weer meteen aan.
Wij hadden geen tijd meer omdat mijn vriendin naar haar werk moest.
De dealer zal er voor zorgen dat er morgen een nieuwe accu in zit en dan kunnen we een nieuwe proefrit maken.

Mijn vraag:
Kan een lege/kapotte accu voor bovenvermelde problemen zorgen? Als de motor loopt moet de dynamo toch de stroomafgifte regelen?
Zou de accu én de dynamo kapot/slecht kunnen zijn? (er brandde geen lichtje op het dashboard tijdens het rijden).
Of kan er (bij dat type auto) een ander probleem zijn.

Het autootje beviel ons wel, en als het alleen de accu is dan is er niks aan de hand.

Groetjes en alvast bedankt voor eventuele reacties